1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Теорема о сохранении кинетической энергии. Московский государственный университет печати. Работа силы на конечном перемещении

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Дифференциальная форма. Дифференциал от кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на точку,

Теорема об изменении кинетической энергии:

.

Интегральная (конечная) форма. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки: изменение кинетической энергии мате­риальной точки на некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на эту точку сил на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы формулируется: изменение кинетической энергии меха­нической системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних cuл, приложенных к системе, на этом перемещении:

.

В случае неизменяемой системы сумма работ внутренних сил на любом перемещении равна нулю (), тогда

,

Закон сохранения механической энергии. При движении механической системы под действием сил, имеющих потенциал, изменения кинетической энергии системы определяются зависимостями:

, откуда ,

.

Сумму кинетической и потенциальной энергий системы называют полной механической энергией системы.

Таким образом, при движении механической системы в стационар­ном потенциальном поле полная механическая энергия системы при движении остается неизменной.

Задача. Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Учитывая трение скольжения тела 3, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость и ускорение тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s (рис. 3.70).

В задаче принять:

Решение. На механическую систему действуют активные силы , , . Применяя принцип освобождения от связей системы, покажем реакции шарнирно-неподвижной опоры 2 и шероховатой наклонной поверхности. Направления скоростей тел системы изобразим с учетом того, что тело 1 спускается.

Задачу решим, применяя теорему об изменении кинетической энергии механической системы:

,

где Т и – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; — алгебраическая сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное; — сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями:

.

Так как в начальном положении система покоилась, то . Следовательно:

.

Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3:

.

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно, равна:

.

Кинетическая энергия блока 2, совершающего вращение вокруг оси Оz, перпендикулярной плоскости чертежа:

.

Кинетическая энергия тела 3 в его поступательном движении:

.

.

Выражение кинетической энергии содержит неизвестные скорости всех тел системы. Начать определение необходимо с . Избавимся от лишних неизвестных, составив уравнения связей.

Уравнения связей это не что иное, как кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы. При составлении уравнений связей выразим все неизвестные скорости и перемещения тел системы через скорость и перемещение груза 1.

Скорость любой точки обода малого радиуса равна скорости тела 1, а также произведению угловой скорости тела 2 и радиуса вращения r:

.

Отсюда выразим угловую скорость тела 2:

. (а)

Вращательная скорость любой точки обода блока большого радиуса , с одной стороны, равна произведению угловой скорости блока и радиуса вращения, а с другой – скорости тела 3:

.

Подставив значение угловой скорости, получим:

. (б)

Проинтегрировав при начальных условиях выражения (а) и (б), запишем соотношение перемещений точек системы:

. (в)

Зная основные зависимости скоростей точек системы, вернемся к выражению кинетической энергии и подставим в него уравнения (а) и (б):

.

Момент инерции тела 2 равен:

.

Подставляя значения масс тел и момента инерции тела 2, запишем:

.

Определение суммы работ всех внешних сил системы на заданном перемещении.

.

Работа силы тяжести тела 1

.

Работа сил равна нулю, так как эти силы приложены к неподвижной точке.

.

Работа силы тяжести тела 3

.

Работа нормальной реакции тела 3 равна нулю, так как сила перпендикулярна направлению движения

.

Работа силы трения скольжения

,

,

.

Сумма работ внешних сил

.

Подставляя значения масс тел, соотношения перемещений (в) и числовые параметры, запишем:

Теперь согласно теореме об изменении кинетической энергии механической системы приравняем значения Т и

. (г)

Скорость тела 1 получим из выражения (г)

.

Ускорение тела 1 можно определить, продифференцировав по времени равенство (г):

Читать еще:  Номинации для награждения детей в начальной. Номинации для награждения детей в летнем лагере. Номинации для награждения детей

,

где .

.

185.94.188.253 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

РАБОТА СИЛЫ. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛОВЫЕ ПОЛЯ. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Пусть г = г(/) — закон движения материальной точки, F — сила, действующая на точку, a dr = rdt — действительное перемещение.

0.4.1. Элементарной работой силы на действительном переме-

щении называется дифференциальная форма dA = Fdr = .

Если материальная точка в процессе движения по траектории переместилась из положения Р0 в положение Р, то работа силы на этом перемещении представляется криволинейным интегралом (рис. 15)

  • 0.4.2. Если в каждой точке области D трехмерного евклидова пространства задан вектор силы F(r, t), то говорят, что в области D задано силовое поле.
  • 0.4.3. Силовое поле называется потенциальным, если существует

3 — оператор градиента по пространственным координатам.

0.4.4. Стационарное потенциальное силовое поле называется консервативным. В этом случае силовая функция не зависит от времени.

Важным свойством силовых полей является независимость работы от пути, соединяющего две фиксированные точки области D. Сформулируем известную теорему анализа о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования: если силовое поле, заданное в односвязной области Д является стационарным

— = 0) и безвихревым (rot F = 0), то оно консервативно, и работа ot ^

силы при перемещении из точки г в точку Р зависит только от

этих точек и не зависит от пути, их соединяющего. Из условия

rot F = 0 следуют условия Коши —— = -г— L , к, / = 1, 2, 3, полного

дифференциала выражения Fdr. Здесь функции Хь Х2, Хъ> зависящие от х,, х2, х3, — компоненты вектора F. При вычислении работы получим

П. Рассмотрим силовые поля на плоскости Оху, порождаемые силовыми функциями Ux = ф и U2 =

так как dr-0 вдоль контура Sv В этом случае обход начала координат не влияет на величину работы, хотя область определения силового поля неодносвязна.

0.4.5. Величина Т = 1/2/яг 2 называется кинетической энергией материальной точки.

Т. При движении материальной точки дифференциал кинетической энергии равен элементарной работе действующей на точку силы на действительном перемещении.

Функция (/, многозначна, и работа силы по замкнутому контуру, охватывающему начало координат, равна 2п. Во втором случае

С.1. Приращение кинетической энергии материальной точки при ее перемещении из точки Р в точку Р равно работе силы на этом перемещении

где г, г — скорости материальной точки, соответствующие ее положениям Р и Р.

С.2. Производная от кинетической энергии по времени равна мощности силы, действующей на точку, т.е.

Доказательства следствий 1 и 2 очевидны.

С.З. Если силовое поле консервативно, то полная механическая энергия точки сохраняется при ее движении.

А В случае консервативного поля работа силы на пути РРравна разности U(t) — U(г), где U(г) — силовая функция, а г, г — радиусы-векторы точек Р, Рсоответственно. Назовем потенциальной энергией консервативного силового поля величину V(v) = -U(г). Из первого следствия найдем

0.4.6. Сумма кинетической и потенциальной энергий называется полной механической энергией.

Таким образом, полная механическая энергия материальной точки Е= Т+ V=h постоянна вдоль траектории — закон сохранения энергии. ?

Если силовое поле консервативно и задана постоянная полной энергии А, то все траектории движения с полной энергией И расположены в области возможных движений Dh=<г : U(г) -ь И > 0>.

П.1. Рассмотрим движение материальной точки в однородном силовом поле F = —mge3 (падение точки в пустоте). Здесь g — ускорение свободного падения, е3 — орт вертикальной оси Оху Поле консервативно и его потенциальная энергия V=mgrey Полная энергия l/2mr 2 +mgre3 = И — закон сохранения энергии. Область возможных движений Dh= mgre3 ? 0> — полупространство. Уравнение движения точки /яг = -/wgre3 имеет решение г = г(0) + + v(0)/- l/2g/ 2 e3, где r(0), v(0) — начальные условия движения. Легко показать, что траектория движения есть парабола, расположенная в вертикальной плоскости, являющейся линейной оболочкой векторов е3, v(0) и проходящей через точку, радиус-вектор которой равен г(0).

Читать еще:  Что делать, если появился целлюлит во время беременности (себе в заметки). Почему во время беременности появляется целлюлит

П.2. Пусть материальная точка движется под действием силы F = /я/,(г)г + mf2(г, г)г. Момент количества движения G = [г, /яг| изменяется согласно уравнению

Полагая G= Ge, где G= |G| получим Ge + Ge = /2Ge. Умножим последнее равенство скалярно на ё и, учитывая равенство ее = 0 (е — единичный вектор), найдем Се 2 = 0. Поскольку в случае общего положения G* 0 (если G=0, то движение происходит по прямой, проходящей через начало координат), то е = 0 и вектор е постоянен. Далее reG= 0, т.е. движение точки происходит в плоскости. Сила m/,(r)г консервативна, так как

Функция/2(г, г), если речь идет о модели сил сопротивления, противоположных скорости точки, отрицательна, и полная энергия Е убывает, когда г*0. Область возможных движений Dh = = <г: U(r) + h ? 0> в зависимости от вида силовой функции G(r) представляется либо шаром, либо объединением шаровых слоев.

Московский государственный университет печати

Теоретическая механика

Конспект лекций для студентов вузов, обучающихся по специальности 170800 «Полиграфические машины и автоматизированные комплексы»

Законы трения скольжения

Скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы, называется кинетической энергией системы.

» />

Кинетическая энергия является характеристикой поступательного и вращательного движения системы. На ее изменение влияет действие внешних сил и так как она является скаляром, то не зависит от направления движения частей системы.

Найдем кинетическую энергию при различных случаях движения:

1. Поступательное движение

Скорости всех точек системы равны скорости центра масс » />. Тогда

» />

Кинетическая энергия системы при поступательном движении равна половине произведения массы системы на квадрат скорости центра масс.

2. Вращательное движение (рис. 77)

Скорость любой точки тела: » />. Тогда

» />

или используя формулу (15.3.1):

» />

Кинетическая энергия тела при вращении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

3. Плоскопараллельное движение

При данном движении кинетическая энергия складывается из энергии поступательного и вращательных движений

» />

Общий случай движения дает формулу, для вычисления кинетической энергии, аналогичную последней.

Определение работы и мощности мы сделали в параграфе 3 главы 14. Здесь же мы рассмотрим примеры вычисления работы и мощности сил действующих на механическую систему.

1. Работа сил тяжести . Пусть » />, координаты начального и конечного положения точки k тела. Работа силы тяжести действующих на эту частицу веса » /> будет » />. Тогда полная работа:

» />

где Р — вес системы материальных точек, » /> — вертикальное перемещение центра тяжести С.

2. Работа сил, приложенных к вращающемуся телу .

Согласно соотношению (14.3.1) можно записать » />, но ds согласно рисунку 74, в силу бесконечной малости можно представить в виде » /> — бесконечно малый угол поворота тела. Тогда

» />

Величина » /> называется вращающим моментом.

Формулу (19.1.6) перепишем как

» />

Элементарная работа равна произведению вращательного момента на элементарный поворот » />.

При повороте на конечный угол » /> имеем:

» />

Если вращательный момент постоянен » />, то

» />

а мощность определим из соотношения (14.3.5)

» />

как произведение вращающего момента на угловую скорость тела.

Теорема об изменении кинетической энергии доказанная для точки (§ 14.4) будет справедлива для любой точки системы

» />

Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно получаем:

» />

или, согласно (19.1.1):

» />

что является выражением теоремы о кинетической энергии системы в дифференциальной форме.

Проинтегрировав (19.2.2) получаем:

» />

— теорему об изменении кинетической энергии в конечном виде: изменение кинетической энергии системы при некотором ее конечном перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Подчеркнем, что внутренние силы не исключаются. Для неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и

» />

Если связи, наложенные на систему, не изменяются со временем, то силы, как внешние так и внутренние, можно разделить на активные и реакции связей, и уравнение (19.2.2) теперь можно записать:

Читать еще:  Новогодний топиарий из органзы и елочных игрушек. Новогодний топиарий своими руками: украшение дома к празднику. Этапы создания декоративного деревца

» />

В динамике вводится такое понятие как «идеальная» механическая система. Это такая система, наличие связей у которой не влияет на изменение кинетической энергии, то есть

» />

Такие связи, не изменяющиеся со временем и сумма работ которых на элементарном перемещении равна нулю, называются идеальными, и уравнение (19.2.5) запишется:

» />

Потенциальной энергией материальной точки в данном положении М называется скалярная величина П, равная той работе, которую произведут силы поля при перемещении точки из положения М в нулевое

Потенциальная энергия зависит от положения точки М, то есть от ее координат

Поясним здесь, что силовым полем называется часть пространственного объема, в каждой точке которого на частицу действует определенная по модулю и направлению сила, зависящая от положения частицы, то есть от координат х, у, z. Например, поле тяготения Земли.

Функция U от координат, дифференциал которой равен работе, называется силовой функцией . Силовое поле, для которого существует силовая функция, называется потенциальным силовым полем , а силы действующие в этом поле, — потенциальными силами .

Пусть нулевые точки для двух силовых функций П(х,у,z) и U(x,y,z) совпадают.

По формуле (14.3.5) получаем » />, т.е. dA = dU(x,y,z) и

» />

где U — значение силовой функции в точке М. Отсюда

Потенциальная энергия в любой точке силового поля равна значению силовой функции в этой точке, взятому с обратным знаком.

То есть, при рассмотрении свойств силового поля вместо силовой функции можно рассматривать потенциальную энергию и, в частности, уравнение (19.3.3) перепишется как

» />

Работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии движущейся точки в начальном и конечном положении.

В частности работа силы тяжести:

» />

Пусть все силы, действующие на систему, будут потенциальными. Тогда для каждой точки k системы работа равна

» />

Тогда для всех сил, как внешних, так и внутренних будет

» />

где » /> — потенциальная энергия всей системы.

Подставляем эти суммы в выражение для кинетической энергии (19.2.3):

» />

» />

При движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергии системы в каждом ее положении остается величиной постоянной. Это закон сохранения механической энергии.

Груз массой 1 кг совершает свободные колебания согласно закону х = 0,1sinl0t. Коэффициент жесткости пружины с = 100 Н/м. Определить полную механическую энергию груза при х = 0,05м, если при х= 0 потенциальная энергия равна нулю . (0,5)

Груз массой m = 4 кг, опускаясь вниз, приводит с помощью нити во вращение цилиндр радиуса R = 0,4 м. Момент инерции цилиндра относительно оси вращения I = 0,2 » />. Определить кинетическую энергию системы тел в момент времени, когда скорость груза v = 2м/с . (10,5)

Кривошип 1, вращаясь с угловой скоростью » />= 10 рад/с, приводит в движение колесо 2 массой 1 кг, которое можно считать однородным диском. Момент инерции кривошипа относительно оси вращения равен 0,1 » />. Определить кинетическую энергию механизма, если радиус R = 3r = 0,6 м . (17)

Грузы 1 и 2 массой m1 = 2 кг и m2 = 1 кг подвешены к концам гибкой нити, перекинутой через блок. Определить скорость груза 1 в момент времени, когда он опустился на высоту h = 3 м. Движение грузов начинается из состояния покоя . (4,43)

Грузы 1 и 2 одинаковой массы т, соединенные между собой гибкой нитью, движутся по горизонтальной плоскости, имея начальную скорость » />= 2 м/с. Определить коэффициент трения скольжения, если тела останавливаются, пройдя путь, равный 4 м . » />

Одинаковые зубчатые колеса 1 и 2 массой 2 кг каждый приводятся в движение из состояния покоя постоянным моментом пары сил М = 1 » />. Определить угловую скорость колес после двух оборотов, если радиус инерции каждого из колес относительно оси вращения равен 0,2 м . (12,5)

Ременная передача начинает движение из состояния покоя под действием постоянного момента пары сил М = 2,5 » />. Моменты инерции шкивов относительно их осей вращения » />. Определить угловую скорость шкива 1 после трех оборотов, если радиусы шкивов » /> . (11,2)

© Центр дистанционного образования МГУП

Источники:

http://studopedia.ru/1_109929_teorema-ob-izmenenii-kineticheskoy-energii-mehanicheskoy-sistemi.html
http://m.studme.org/208110/tehnika/rabota_sily_potentsialnye_silovye_polya_teorema_izmenenii_kineticheskoy_energii_zakon_sohraneniya_energ
http://www.hi-edu.ru/e-books/xbook219/01/part-019.htm

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:

Adblock
detector